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强化数学阅读 敢于问题探究——江苏高考三年数学卷探微

  发表日期:2010年10月20日      作者:戎钢     【编辑录入:sunfang】

自新课程改革以来,已经送走了三届高三毕业生。2010年江苏高考数学试卷再次引起了各界的关注。从江苏考试改革的历史来看,往往三年是一个阶段,高考要求一般会有比较明显的调整。究竟高中数学三年要达到一个什么样的程度?怎样才能更有效地指导学生高三复习?有必要认真研究江苏高考数学试卷三年来的试卷命题特点,为今后的复习指明方向,减少无用功,减轻学生沉重的负担。

一、试题考查内容

1、填空题

 

2008

2009

2010

集合与简易逻辑

4

11

1

函数及性质

 

10

5,11,14

三角函数

113

4

10,13

向量

5

2

 

数列

 

14

 

不等式

11

 

12

解析几何

12

13

6,9

立体几何

 

12

4

概率、统计

2,6

5

3

算法

7

6

7

复数

3

1

2

推理与证明

9,10

7,8

 

导数

814

3,9

8

2、解答题

 

2008

2009

2010

15

三角函数

三角、向量

平面向量

16

立体几何

立体几何

立体几何

17

应用题(函数,导数)

数列

应用题(解三角形,基本不等式

18

解析几何

解析几何

解析几何

19

数列

应用题(函数,基本不等式)

数列

20

函数

函数,一元二次不等式

函数、导数

3、附加题

 

2008

2009

2010

21A

三角、圆

四边形,全等三角形

三角、圆

  B

图形在矩阵下的变换

求逆矩阵

图形在矩阵下的变换

  C

参数方程

参数方程

曲线的极坐标方程

  D

平均不等式

比较法证明不等式

比较法证明不等式

22

空间向量,立体几何

直线,抛物线,

两点间距离公式

概率

23

组合数,二项式定理,

导数,积分

概率,计数原理

余弦定理

数学归纳法

二、试题研究及策略分析

1、从填空题看,集合和简易逻辑,算法,复数,概率的考察三年均以简单题出现,例如算法的要求只要能够读懂流程图,一步一步算出正确的结果即可。复习时不需做更多的拓展。又比如解析几何每年也都出现,而且有一定的要求,但都不是填空题最后一道,定位应该是有区分度的中档题。也就是要重点突破的地方。相比全国卷及其他省市的高考试卷,江苏客观题只有填空题,没有选择题,要想拿到比较好的分数并不容易,如解析几何部分特别是运算能力的训练需要更加足够的重视。

解答题从题型来看,6道题目的考察似乎是比较稳定的,三角向量、立几、解几、应用题、数列、函数导数,只是后4题的位置有些微调,如09年数列与应用题对调,1015题只考了向量,三角融入到应用题中。这充分说明考试考察的主干部分就是这些内容。但是“年年岁岁花相似,年年岁岁人不同”。解答题的设计应是命题组最花费心思和功力的地方,能够体现出江苏命题组的独特的个性和气质。虽然命题的范围固定,但是知识考察的着力点和形式却是无法准确预测的。

在高三的复习教学中,我们应站在学生的角度思考问题,尽可能以最优化的方法途径辅导学生。而面对高考试题,我们是否更应该站在命题的角度,以命题人的学校身份和高度,想象他们所接触的学生群体是什么样的水平,以及他们平时的思考解答问题的习惯和层次,再来理解这份试卷会也许会更好。

2、数学阅读理解能力应引起重视

在高三数学复习教学中,课堂上经常会提问一些数学概念、数学定理与性质,比如函数的导数定义、立体几何中的判定与性质定理等,结果往往是学生回答不出来,或表述不到位,包括班里的数学尖子生。长期以来数学教师在备课时已经把教材内容进行了提炼,在课堂上通过自己的语言表达给学生,而大部分学生是被动的接受和理解,学生没有进行课前预习,对数学概念的理解印象不深,时间一长容易忘记,这样也就缺乏阅读数学文字的能力和习惯。

由于命题组要避开与当年省内各地一模、二模试题出现撞车现象,考生在考场必然要碰到陌生的题目。这就要求学生有较强的数学阅读能力,能够凭借自己的能力解读题干内容,寻找问题的切入点,把陌生的问题转化为熟悉的问题。数学阅读能力包括读题能力、准确表达,将文字语言、数字语言、图形语言相互转化的能力,在读题过程中顺利展开联想的能力。

例如08年第19题(1)设 是各项据不为零的 项等差数列,且公差 ,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列。

(ⅰ)当 时,求 的数值;

(ⅱ)求 的所有可能值。

2)求证:存在一个各项及公差均不为零的 项等差数列,任意删去其中的 ,都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列。

本题可以分成5步阅读

步骤1:“ 是各项据不为零的 项等差数列,且公差 ”,知道通项公式,项与项之间的关系 ,尤其是三项之间的关系。

步骤2:“若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列”,知至少考虑四项。从简单的开始,从基本的开始,这也是高考题的特点。考虑连续四项,且考虑 ,由小见大,从特殊到一般,尝试从前4项中删去某项。由于只有四种可能,不难发现:若删去第一项或第四项,即有连续三项成等比数列,则公差 ,那么删去的只能是

步骤3:“ 时,求 的数值”即为 上述的探究与思考。

步骤4:“()求 的所有可能值”,由上面的分析知 是显然的,由于连续三项不符合要求,可知 ,这样只需验证 了。

步骤5:“求证:存在一个各项及公差均不为零的 项等差数列,任意删去其中的 ,都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列”这种存在性问题的思路是考虑反面。先探索一般的三项成等比数列时, 应满足的条件 是有理数,然后设计一个不符合条件的,简单的 (如无理数, ,并加以验证即可)。

 

3、探究能力的考察形式越来越多样。

《数学课程标准》提出:“有效地数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的的重要方法” 探究性学习不仅已经成为课程教学改革的基本要素与思路,而且探究性问题成为近几年高考的热点、难点问题之一。探究性试题具有较强的趣味性、灵活性和隐秘性问题背景新颖,解法灵活多变,能很好的考查考生的各种思维能力,特别是运用知识,方法分析和解决问题的能力。而且所命制试题的内涵与外延也有很多变化。如解析几何中的定点问题三年均有考查。08年18题圆系过定点,09年18题寻求满足特殊要求的定点,2010年证明直线过定点。另外如选择合适的量表达两个量之间的数量关系,等差数列中的等比数列,函数(导数)中的分类讨论等等。可以说有一定难度的题目均带有探究(索)的味道。

在平时的教学中,教师应有意识的在概念,常用结论,又代表性的综合题的讲解上设计问题环节,把常规题改编为探究题,引导学生更充分的思考,尝试,弄清来龙去脉,体会解决问题的思想方法和策略。

在概念的教学上通过习题探究加深对概念严谨性的理解。如函数的单调性行的概念中对“任意”关键词的理解,可以让学生解释反函数的单调区间以及一道形式为分段函数在整个实数范围内单调,求参数的范围这两个经典的例子来理解,还可以探究把定义域中的 改为 (其中 为常数,比如 )即“对于任意的 ”能否判断函数的单调性,从另一个方面体会“任意”的含义。

又比如向量三点共线结论:“在平面中A、B、C三点共线的充要条件是: (O为平面内任意一点),其中 ”不仅能够熟练的掌握证明技巧,而且对结论中的A点的位置与变量 的关系也要很清楚。对A的三种位置的讨论如A为线段AB的内分点, 均大于0小于1,若A为外分点,则 一正一负,由 的正负情况进步可以明确A点在射线BA上还是在射线B上。如果熟悉这一点,那么2010年20题第三问的背景就清楚了,结合另外一个熟悉的结论“连续函数 在区间D内的任意 满足 ”,就不难展开讨论。

可以变证明题为探究题,模糊本来明确的解题方向,变成一道“是否存在”题。

例题:设正项数列 的前 项和 为非零常数。已知对任意正整数 总成立。(1)求证:数列 是等比数列

2)求证:对于任意的正整数 构成等差数列,都有 总成立

第二问可改编为(2)是否存在由正整数 构成等差数列,可使 成立。若存在,请写出这样一个等差数列;若不存在,请说明理由。(解题过程略)

面对能力考查的需求的提升,站在备考的角度思考,我们需要学生掌握什么支撑考试时的底气,做到准备充分,处变不惊,是一直不断思考的永久命题。


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