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三角函数的图象和性质(一)教学设计

  发表日期:2005年12月1日      作者:刘金涛     【编辑录入:admin】

【教学课题】

§4.8.1  三角函数的图象和性质(一)

教材分析

本节课是三角函数的图象和性质的第一节课,在这节课前,教材已先安排了任意角的三角函数的定义的一节课,再进行研究三角函数的图象和性质。这节课教材主要是研究三点:一是如何作出正弦函数以及余弦函数图象,二是用“五点法”画正、余弦函数的简图,三是正弦函数以及余弦函数图象之间有何关系。

【教学目标】

(一)   教学知识点

1、正弦函数的图象;

2、余弦函数的图象。

(二)   能力训练要求

1、会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象;

2、用诱导公式画出余弦函数的图象;

3、会用“五点法”画正、余弦函数的图象。

(三)   德育渗透目标

1、培养学生的数形结合;

2、渗透由抽象到具体思想;

3、使学生理解动与静的辨正关系。

(四)   美育渗透点

      通过作图,使学生感受到波形曲线的流畅美,使学生体会事物周期变化的奥秘。

【教学重点】

用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线。

【教学难点】

一、  利用单位圆中的正弦线画出函数y=sinx ,xÎ[0,2p]的图象;

二、  利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

【教学方法】

借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法,画出正弦曲线,在此基础上由诱导公式画出余弦曲线。(讲授法,讲练结合,启发式教学)

【教学准备】

教科书,多媒体课件。

【教学过程设计】

教师教学活动

学生参与性活动

设计意图

(I)课题导入:

以前,我们已经学过哪些函数?

对于这些函数我们都讨论过它们的图象及性质。那么,现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢?今天,我们就来探讨一下:

 

学生一起回答:

一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数。

回顾原来函数的内容,为即将学习的新知识做好铺垫,类比。

(Ⅱ)讲授新课

首先,同学们回顾一下三角函数线。

提问:

1、如何画函数的图象?有哪些方法?

2、如何画出函数y=sinx的图象?

新问题:

1、怎样得到函数图象上点的两个坐标数据?

2、由于对一般角的三角函数值都是近似值,作图的不够精确,我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或有向线段数值)表示x角的三角函数值。即如何在直角坐标系中准确的描出此点(,sin)即(,)?

很好(用课件展示如何描点)

下面,我们利用单位圆中的正弦线来看如何准确描点的!

(打开课件,引导学生仔细观察过程)

 

同学积极回忆回答:

三角函数线是三角函数的一种几何表示方法,确切的说,就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小,方向表示三角函数的符号的一种方法。

学生回答:

(1)在坐标系中,描出满足函数式的所有点,即描点法

(2)图象平移法如:y=f(x+a)的图象与y=f(x)的图象

(3)伸缩变化法(或坐标变换法)

描点法是做函数图象的基本方法

答:通过计算器得到,特殊角的函数值还可直接计算得到。

y=sinx的图象先取一个点(,sin

答:利用单位圆中的三角函数线表示函数值。

 

从学生熟悉的知识出发,培养学生独立观察能力和分析能力,自然找出画正弦函数的图象的方法。

 

教师教学活动

学生参与性活动

设计意图

启发学生:

 那我们能不能用我们作这个点的方法来画正弦函数的图象呢

下面,我们利用这种方法来画一下正弦函数的图象。

(打开课件,引导学生仔细观察过程)

请一个同学来归纳一下作图的步骤:

利用单位圆中的正弦线来画正弦函数的图象步骤:

1)作直角坐标系,并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆

2)把单位圆分成12等分(等分越多,画出的图象越精确),可分别在单位圆中作出对应于x的0,,,…… ,2p 的正弦函数线。

3)找横坐标:把x轴上从0到2p (2p6.28)这一段分成12等分。

4)找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点。

5)连线:用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来,即得y=sinx,x∈[0,2p]的图像。

 

 

 

学生分析回答:

显然可以

 

学生归纳后教师然后完善补充

使学生明白作图方法的来由。

让学生自己归纳出正弦函数的作图步骤,使学生能够清楚的认识到如何作出正弦函数的图象。

 

这时,我们看到的这段光滑曲线就是函数y=sinxx∈[0,2p]上的函数。

那我们如何画出y=sinxx∈R的图象呢?终边相同的角的三角函数值有什么关系?(启发学生思考)

 

于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2p]的图象向左、右平行移动(每次2p个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx在x∈R上的图象。(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察作图过程)

此时,我们看到的这支曲线就是正弦函数y=sinx在整个定义域上的图象,我们也可以把它称为正弦曲线。

 

学生积极思考

回答:

因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2p,2(k+1)p],k∈Zk≠0上的图象与函数y=sinx,x∈[0,2p]上的图象的形状完全一样,只是位置不同。

 

 

让学生自己思考如何画出整个函数图象,使学生能够把我们前后所学的知识灵活运用,认识联系。

 

教师教学活动

学生参与性活动

设计意图

用这种方法来作图象,虽然比较精确,但不太实用,我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?

请同学们仔细观察:

是否可看出,在函数y=sinx,x∈[0,2p]的图象上,起关键作用的点只有五个:(哪五个?)

这五个点被称为“起点”、“峰点”、“拐点”、“谷点”、“终点”。

事实上,描出这五个点后,函数y=sinxx[0,2p]的图象的形状就基本确定了。因此,在精确度不高的情况下,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到函数的简图。今后,我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”。

示范作图(板书)

 

 

生回答:

(0,0)  ( ,1)  (p,0)  ( ,-1)  (2p,0)

 

 

 

 

 

 

学生和教师一起动手体会一下“五点(画图)法”。

 

知道起关键作用的点为画图打下坚实的基础。

 

体会所学的知识,熟悉“五点(画图)法”。

练习:

1、  五点法作出函数y=2sinxx[0,2p]的图象

2、  五点法作出函数y=sin(x+ )x[0,2p]的图象

(先把同学们作的图象用投影仪展示指出问题,然后再把图象的过程用几何画板给同学们展示)

 

学生积极动手处理

让学生动手画图使学生熟悉掌握“五点(画图)法”。为后面余弦函数的图象打下基础。

我们画出了正弦函数的,那么余弦函数图象怎么画呢?

 

用“五点法”可以的,能不能用平移的方法呢?我们的诱导公式呢?(启发学生思考)其实刚才我们已经画出来了!

下面我们看余弦函数图象的一种画法。

由诱导公式可知:

y=cosx=cos(-x)=sin[ -(-x)]=sin(x+ )

 

 

学生回答:

当然可以

 

由诱导公式可知:

y=cosx=cos(-x)=sin[ -(-x)]=sin(x+ )

 

 

培养学生用类比的方法解决问题的能力,使学生能够掌握知识之间的联系。

 

教师教学活动

学生参与性活动

设计意图

看来,余弦函数y=cosxxÎR与函数y=sin(x+ )xÎR是同一个函数,它们的图象相同。

那么我们如何得到y=sin(x+ )xÎR

请同学们仔细观察:

余弦函数与正弦函数图象间的关系

我们现在看到的曲线也就是余弦函数y=cosxxÎR的图象,即余弦曲线。

同样,可发现在函数y=cosxxÎ[0,2p]的图象上,起着关键作用的是哪五个点?

与画函数y=sinxxÎ[0,2p]的简图类似,通过五个点,可以画出函数y=cosxxÎ[0,2p]的简图。

用几何画板示范作图(板书)

下面,请同学们练习一下“五点(作图)法”。

答:

y=sin(x+ )xÎR的图象可通过将正弦曲线y=sinx的图象向左平移 ,即得y=cosx的图象

 

答:

(0,1)  ( ,0)  (p,-1)  ( ,0)  (2p,1)

 

 

使学生自己去发现余弦函数的五点,知道如何画余弦函数的图象。

(Ⅲ)课堂练习

1、在教师指导下用“五点(画图)法”分别作出y=sinxy=cosxxÎ[0,2p]上的简图,并体会它们之间的关系。

2、分别在[-4p,4p]内作出y=sinxy=cosx的图象。

3、  y=sinx 4y=sin(x1)

(学生画完后用几何画板展示给学生看)

 

 

 

 

生:(板演练习)

 

 

巩固,加深本节课所学知识。

)课时小结

1我们是如何作出正弦函数以及余弦函数图象的?

2要熟练掌握“五点法”作函数的简图,它是我们后面学习的基础。

学生集体复述

   精确做图:利用三角函数线。

 

   粗略做图:五点法。

让学生明白本节课重点、难点的内容。

V)课后作业

一、课本P57习题4.8  1

补充:分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象。

二、1.预习内容:课本P51P53

2.预习提纲:

正弦函数、弦函数分别具有哪些性质?

 

 

 

 

 

【教学过程设计说明】

1、本节课从先前的函数知识引入如何画函数图象的有关方法,画函数图象的时候,由如何精确的描一个点引入,从而找出画整个正弦函数的图象的方法,培养学生由点到面的能力。

    2、整个教学过程循序渐进,让同学能够逐步掌握如何简单的画出正弦函数的图象的方法“五点(作图)法”及如何得到余弦函数的图象。

3、习题的设计也是由简单到复杂,使学生渐渐掌握,增强学生的双基。

4、在教学过程中充分体现学生的主体作用,引导学生如何画函数的图象,为什么这样画,使学生体会到波形曲线的流畅美,激发学生学习的兴趣。

 

【板书设计】

 

课题

§4.8.1三角函数的图象和性质()

 

正弦曲线:

余弦曲线:

“五点法” 画图象:

练习:

 


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