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“二面角”教学设计

  发表日期:2005年12月1日      作者:翟荣俊     【编辑录入:admin】

一、[教材分析]

1、教材地位和作用

二面角及其平面角的概念是立体几何中很重要的一个概念。二面角进一步完善了空间角的概念;而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。掌握好本节课的知识,对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力、乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义。教学大纲明确的要求是要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。

2、教学目标 

    根据上面对教材的分析,并结合所任教学生的认知水平和思维特点,确定以下本节课的教学目标:

    认知目标:(1)使学生正确理解二面角及其平面角的概念,并能初步运用它们解决实际问题。(2)进一步训练学生的空间思维能力,增强学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力目标:以培养学生的空间想象能力、动手能力和创新能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的创新能力。(2)通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

教育目标:(1)使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系,进一步培养学生理论联系实际的辩证唯物主义观点。   

3、本节课教学的重点、难点:1)二面角的平面角概念的形成过程。(2)寻找二面角的平面角的方法的发现过程。

    1)目前教材省略了许多概念的形成过程和方法的发现过程,没有反映出科学认识产生的辩证过程,与学生的认知规律相悖,不利于学生独立思考能力以及动手能力的培养。

    (2)揭示知识的形成过程,对学生学习新知识十分必要。同时通过展现知识的发生、发展过程,给学生思考、探索、发现和创新提供了最大的空间,可以使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态,进而培养他们独立思考和大胆探索的精神,这样才能全面落实本节课的教学目标。。

[指导思想和教学方法]

1、树立以学生发展为本的思想。

通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力发展的宽松的教学环境,提供学生自主探索动手操作的机会,充分运用活动教学原理,鼓励他们创新思考,亲身参与概念和方法的形成过程,通过亲身体验,提高对知识结构、知识重点的理解。

2、坚持师生互动、协同创新原则。把教材创新、教法创新以及学法创新有机地统一起来,因为只有教师创新地教,学生创新地学,师生平等的互动交流才能营建一个有利于学生能力培养的良好环境。

首先是教材创新。

1)在二面角的平面角概念引入上,我变课本上的“直接给出定义”为“类比——猜想——操作——定义”,也就是变封闭的、逻辑演绎体系为开放的、探索性的发现过程。(2)在引入定义之后,例题讲解之前,引导学生发现寻找二面角的平面角的方法,为例题做好铺垫。(3)重新编排例题。

其次是教法创新。采用多种创新的教学方法,包括问题解决法、类比发现法、研究发现法等教学方法。

这组教学方法的特点是教师通过创设问题情境,引导学生逐步发现知识的形成过程,使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上,着力培养学生的创新能力。

教学手段的实效性有利于提高课堂效益,有利于创新人才的培养,根据本节课的教学需要,教师可预先做好一些模型。

最后是学法创新。意在指导学生学会创新地学。

1、学会:在掌握基础知识的同时,让学生了解并初步掌握化归、类比、联想等数学思想方法的运用,学会建立完善的知识结构,提高学习的有效性。

2、会学:通过自已亲身参与和体验,学生要领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法,从而进一步学到知识。

学生情况分析:所教的班级为高二的理科班,学生基础较好,课堂反映踊跃。学生善于探索和自我思考,有一定的分析问题和解决问题的能力。针对立体几何中的这一节重点(也是一节较难理解)的课,学生有一种迫切的求知欲,在设计本节课时,必须充分考虑到此问题。

[教学过程安排]   

(一)二面角

1、  揭示概念产生背景

问题情境1、我们是如何定量研究两平行平面的相对位置的?

问题情境2、立几中常用距离和角来定量描述两个元素(线、面)之间的相对位置,为什么不引入两平行平面所成的角?

    问题情境3、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢?

设计原因:通过这三个问题,让学生领会到,二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要,从而明确新课题研究的必要性,触发学生积极思维活动的展开。

2、 展现概念形成过程。

问题情境4、那么,应该如何定义两相交平面所成的角呢?

创设这个问题情境,为学生创新思维的展开提供了空间。结合演示,引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。(类比“角”与“二面角”)

 

二面角

 

引入

一直线上的一点把这条直线分成两部份,每一部份称为半直线(射线)。

一平面内的一条直线把这个平面分成两部份,每一部份称为半平面。

 

定义

从一点出发的两条半直线(射线)所组成的图形。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。

 

构成

射线(半直线)—点—射线(半直线)

(边)   (顶点)   (边)

半平面——直线——半平面

(面)   (棱)   (面)

表示法

AOB

α—a—β 或  α—AB—β

问题情境5、通过类比,让同学们能总结出二面角的概念

引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程,通过类比,迁移到两相交平面所成角——二面角的引入上,从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果,给予积极的评价,强化他们的创新意识。由教师板书于表中右侧。

问题情境6、同学们能举出一些二面角的实例吗?

由教师出示预先准备好的二面角的模型,要求学生作出它们的直观图,通过实际运用,可以促使学生更加深刻地理解概念。

             

 

 

 

 

 


(二)、二面角的平面角  

1、揭示概念产生背景。

问题情境7、观察以上几个图形,它们有什么异同?(黑板上同学板演图形)

引导学生对图形进行观察、分析、比较,发现各二面角的“倾斜程度”即大小不一样。在教学中,诱发学生的直觉思维是培养学生创新思维的重要途径。

问题情境8、能把它们的大小度量出来吗?

这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。

2、展现概念形成过程

1)、类比。教师启发,寻找类比联想的对象。

问题情境9、我们以前碰到过类似的问题吗?

引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义,电脑演示以提高效率。

  问题情境10、两定义的共同点是什么?

  生:空间角总是转化为平面的角,并且这个角是唯一确定的。

问题情境11、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的?

2)、提出猜想:二面角的大小也可通过平面的角来定义。                      

问题情境12、那么,这个角的顶点及两边应如何确定呢?

学生:顶点放在棱上,两边分别放在两个面内。

这也是学生直觉思维的结果

3)、探索实验。向学生指出,猜想所得结果,要通过进一步探索,以决定其价值。

教师利用预先准备好的二面角和角的模型,学生可利用课本和两根铅笔作为二面角及角的模型,师生共同做实验。

 


通过实验发现,∠AOB的大小无法确定,因此不能用这样的

角来度量二面角的大小。通过实验,激发了学生的学习兴趣,培养了学生的动手操作能力。

4)、继续探索,得到平面角定义。

问题情境13、那么,怎样使这个角的大小唯一确定呢?

师生共同探讨后发现,角的顶点确定后,要使此角的大小唯

一确定,只须使它的两条边在平面内唯一确定,联想到平面内过直线上一点的垂线的唯一性,由此发现二面角的大小的一种描述方法。

5)、自我验证:指导学生阅读课本上的定义,并说明定义的合理性。

1)理论证明。当顶点为棱上任意一点时,由等角定理,此角的大小是唯一确定的,因此把这个角定义为二面角的平面角。

2)直观检验。要求学生作出图一的平面角,并说明其大小与两平面倾斜程度的正相关性,从而说明此定义的合理性。教师在黑板上演示。

经过师生共同研讨,学生不仅学会了二面角的平面角的定义,而且懂得了为什么要这样定义。其意义不仅在于掌握定义是如何描述的,更重要的是让学生领会到知识创新的思维过程和思维方法,从而提高他们的创新能力。

(三)、深入研究——从定义到方法。

复习旧知识,通过类比迁移可实现知识创新;通过对新知识的深入研究则可以实现知识的再创新。进一步分析二面角的平面角的定义,教师的主要任务是揭示找角的方法是如何探索出来的。

 

提出问题:刚才在定义二面角的平面角时,先确定棱上一点O,再作其平面角。若已知的点不在棱上,能否作出该二面角的平面角?根据定义容易作出该二面角的平面角,除此以外,就没别的办法吗?

让学生充分酝酿,议论和画图,通过探索找角的多种方法来训练学生的发散思维,从而提高学生的创新思维能力。同时让学生不但动脑思考,而且动手操作,促进他们独立思考能力、动手能力等多方面素质的整体发展。

教师可视课堂的情况作必要的引导:不直接作AB⊥a可以吗?最后引导学生对研究结果进行总结,训练学生的思维,有助于完善学生的思维结构。

研究结果:找二面角的平面角有三种方法,方法一是根据定义,其优点是思路简单明了,缺点是角找出后,不易计算;方法二作垂面,此方法优点是简洁明了、很直观,计算方便,缺点是垂面不易作;方法三是根据三垂线定理或其逆定理,找角的关键是找到(或作出)平面的垂线,由于构造了一个直角三角形,因此角一旦找到,计算相对来说比较简单。

这样就从深入研究概念入手,引导学生通过知识创新的方法,得到二面角的平面角的三种常用作法,由于学生亲身参与了方法的发现过程,因而印象深刻。为下阶段的解题作好准备。

(四)、应用举例设计

D

C

B

A

            

           

 

 

           

                                     

为巩固学生所学知识,在此设置了两道例题。两道例题都来源于实际生活,不但可以培养学生分析问题和解决问题的能力,也让学生领会到数学概念来自生活实际,并服务于生活实际,从而增强他们应用数学的意识。两道例题由浅入深,由易到难,既体现了教学的巩固性原则,又兼顾了因材施教的原则。

1、一张边长为10厘米的正三角形纸片ABC,以它的高AD为折痕,折成一个1200二面角,求此时B、C两点间的距离。

分析:涉及二面角的计算问题,关键是找出(或作出)该二面角的平面角。引导学生充分利用已知图形的性质,最后发现可由定义找出该二面角的平面角。可让学生先做,为调动学生的积极性,并增加学生的参与感,活跃课堂的气氛,教师可给学生板演的机会。教师讲评时强调解题规范即必须证明∠BDC是二面角B—AD—C的平面角。 

变式训练(本题可作为课后思考题):图中共有几个二面角?能求出它们的大小吗?

这是一道结论需要探索的问题,问题的开放性激发了学生的创新意识,供学生课后思考。在解决问题过程中,学生必须手脑并用,边画边想,既提出猜想,又作出判断,这对学生独立思考能力、动手能力等多方面素质的全面发展很有帮助。

解题后反思:求二面角的平面角的方法法是:先找(或作)——后证——再解(三角形)。         

引导学生进行解题后反思,对完善学生的认知结构是十分必要的,也为以后的创新和解题能力的提高作好了准备。

2、已知有一个边长为1的正方形ABCD,线段PD⊥平面ABCD,PD=AD。

1)求二面角A-PB-C的平面角;

2)求二面角P-AB-D的平面角;

3)求二面角A-PC-D的平面角;

D

C

B

A

P

D

C

B

A

P

H

D

C

B

A

P

E

 

 

 

 

 


(图1)               (图2)                  (图3)

分析:问题(1)中可作AH垂直PB于点H,连接CH,由三角形全等可知CH也垂直

PB,则AHC为所求二面角的平面角,此角的大小的求法可引导同学利用相应的三角公式解决(归纳:定义法);问题(2)中要引导同学发现平面PBC与平面ABCD均垂直于平面PAD(让学生分析为什么,提高对线面垂直Û面面垂直的相互转化),从而分析出∠PAD就是所求二面角的平面角,大小为450(归纳:垂面法);问题3中要引导同学发现AD⊥平面PDC,如果作DE⊥PC于点E,连接AE,由三垂线定理可知:AE⊥PC,从而得到∠AED就是所求二面角A-PC-D的平面角,在具体研究角的大小时,要提醒同学注意AD⊥DE(归纳:三垂线法)。

解后反思:本题的背景是一个简单组合体,其中包含了比较多的二面角“素材”,如何解决,方法灵活,一定要根据具体题目针对性的采用。进一步探索:本题如将此几何体补成正方体,将对解题带来哪些变化,你又能从中发现那些可求的二面角。

(五)小结

在研究完二面角及其平面角的概念后,要求学生对空间中三种角加以比较、归纳,以促成学生建立起空间中角这一概念系统。同时要求学生对本节课的学习方法进行总结,领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法。

(六)作业

课本(43页):习题六   1、2

教学过程设计说明:本节课在教学上的设计是在充分考虑到学生的实际情况基础上展开的。二面角成为立体几何中的一个难点,主要在于学生对其概念理解不透,对研究平面角的常见方法(尤其是三垂线法)掌握不牢。为解决这个问题,在教学过程的设计中,注意牢牢立足基本概念,突出概念的发生和发展过程,既提高学生对本节课知识点的掌握,也训练了学生的思维,锻炼了学生的分析、观察、研究和探索能力,为下阶段的继续学习打好基础。

附、板书设计

二面角

 

一、二面角                      1                      2

1 类比:角与二面角                                                         

2、二面角的概念与画法                                                                                               

二、二面角的平面角

3、二面角的平面角概念                   

4、平面角的常见作法

1)定义法

2)垂面法

3)三垂线法                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    板书设计说明:本节课的板书立足于精,而不在乎多,重点在于两个概念和平面角的常见作法。这样就为两个立体的研究留下了比较充足的空间。例1的分析由学生根据本节课所学知识进行解决,规范性的板书由老师完成,起到示范作用,防止在今后的解题中出现不符合要求的解题过程;例2的分析由师生共同完成,这其中教师主要是起到引导作用,充分发挥学生的主体性作用,板书由学生完成,老师根据学生在解题中出现的问题再进行适时的提醒和分析,提高板书的有效性。

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